Prendo a prestito l’idea de “Il Pianeta dei Pazzi” di Nuke e inizio con questo articolo sul teorema di Pitagora una carrellata sulle meraviglie del creato “nascoste”. Non necessariamente le meraviglie della natura sono visibili e spettacolari, ma sovente sono anzi nascoste sotto forma di leggi matematiche che, dietro le quinte dell’immenso e incredibile teatro della natura, regolano in silenzio l’esistenza del tutto.
La cosa più straordinaria è che le leggi della natura non si smentiscono tra loro, ma anzi si compenetrano fino a formare un perfetto tetris in cui tutto trova non solo il proprio posto ma il giusto posto. Valga per tutti l’esempio della tavola degli elementi che, essendo dalla natura ordinati in un sistema periodico, ci ha permesso di capire quali e quanti sono gli elementi chimici molti anni prima di scoprirli realmente.
Sono ben consapevole che a pochi, pochissimi, interessano queste cose, non interessano vuoi perché costringono a sforzi mentali, vuoi perché mettono in discussione sia le “certezze” acquisite dalla disinformazione colpevole che le certezze derivanti dalla cattiva qualità dell’informazione di media sempre più allineati a governi, benpensanti dell’ultima moda e interessi economici. A tanti poi, semplicemente, non frega nulla.
In tutto questo ritengo sia mio dovere, in siffatta seconda caduta dell’impero romano, tentare di salvaguardare le conoscenze che alla prima caduta dell’impero romano andarono perdute e furono necessari quasi mille anni per recuperarle.
In questa prima puntata parlerò del Teorema di Pitagora, una semplice equazione che ha avuto risvolti epocali e permesso il calcolo delle rotte di navigazione, la moderna cartografia, la formulazione della teoria della Relatività; ha fatto comprendere la gravitazione e, a me personalmente, ha risolto tanti problemi di misurazione nel rilevamento di pezzi meccanici.
Il Teorema di Pitagora dice che in un triangolo rettangolo
In realtà probabilmente questa scoperta non fu di Pitagora, già gli egizi conoscevano la prima terna pitagorica, sapevano che se b = 3 e c = 4 allora a = 5 e con quella costruirono le squadre che permisero di realizzare gli angoli perfettamente retti della base delle piramidi e, forse, pure i sumeri e babilonesi avevano già intuito qualcosa. Il teorema di Pitagora ci permette di calcolare l’altezza di un edificio, per esempio sia b l’altezza da calcolare, è sufficiente misurare arbitrariamente c, ce poniamo essere 100 metri e l’angolo gamma formato da c e a che, poniamo sia di 22°; sappiamo dalla trigonometria che cos 22 = c/a quindi a = c/cos 22, sostituendo a = 100/0,927 = 107,8 applicando il teorema di Pitagora avremo b uguale a 40,4 metri.
Con questo metodo* Eratostene calcolò la circonferenza delle Terra servendosi dell’angolo formato tra una verticale e l’inclinazione dei raggi alla stessa ora in due citta diverse, Alessandria e Syrene, distanti 5.000 stadi, circa 800 km. Dal Teorema di Pitagora è anche nata l’equazione che descrive la circonferenza, molto semplicemente ogni punto di una circonferenza è definito da due coordinate x e y distante dal centro il raggio r che si può assumere come l’origine; quindi avremo:
per cui l’equazione di una circonferenza di raggio r con centro C(a,b) sarà:
Una delle prime applicazioni del T.di P. fu nell’agrimensura, tramite la triangolazione, ovvero la suddivisione di un terreno in tanti triangoli, era finalmente divenuta possibile la misura esatta degli appezzamenti e, successivamente, applicando la triangolazione alla cartografia si ottennero mappe precise.
Uno studente di Johann Friedrich Carl Gauss, (uno dei più celebri matematici di tutti i tempi), un certo Georg Friedrich Bernhard Riemann, formalizzò grazie al T. di P. una nuova geometria, la geometria curvilinea, valida dove nello spazio curvo in cui ci troviamo. La terra è curva e lo spazio è curvo, nello spazio la geometria piana euclidea cessa di essere valida e la geometria di Riemann andò a colmare questa mancanza.
La geometria di Riemann è assai complessa e questa non è la sede per trattare tale affascinante materia, mi limiterò ad accennare che la distanza tra due punti nello spazio tridimensionale euclideo (che è a curvatura zero)**, in accordo a T. di Pitagora vale:
Ma se lo spazio è curvo va tenuto conto della curvatura altrimenti la distanza tra due punti sarebbe falsata (più corta del reale) per cui, ma sempre in accordo col T. di Pitagora, l’equazione assume la forma:
Nella geometria differenziale tale formula, espressa in forma matriciale, è un tensore simmetrico. Senza questo, e altri strumenti matematici, un qualsiasi viaggio fuori dalla terra sarebbe impossibile; immaginate di dover andare dal punto A al punto B, sulla terra è facile perché A e B sono fissi in uno spazio piano**, ora immaginate che il punto B si muova, raggiungerlo diventa molto più difficile, immaginate ancora che anche il punto A si muova, a questo punto è impossibile partendo da A raggiungere B per la perdita di riferimenti fissi da cui calcolare la rotta; ebbene è proprio quel che accade nel vuoto dello spazio! Ma grazie al teorema di Pitagora ed ad altri strumenti come il teorema di Lagrange e ai suoi Punti Lagrangiani possiamo conoscere i dati che ci servono per poterci spostare da A e B anche se A e B si muovono in uno spazio curvo.
Se avete resistito fino a qui meritate una pausa di alleggerimento con una curiosità: nel film Il Principe del Circo del 1958, Danny Kaye canta una canzone che comincia con questa strofa:
The square on the hypotenuse
Of a right triangle
Is equal to
The sum of the squares
On the two adjacent sides
Che è praticamente l’enunciato del teorema pitagorico; nella lingua inglese poi, per l’assonanza con le prime parole dell’enunciato esiste il gioco di parole “The squaw on the hippopotamus”. Ma il culmine applicativo del T. di Pitagora è sicuramente nella teoria della relatività, grazie al quale Einstein costruì le equazioni che ci permettono di calcolare la variazione del tempo in funzione della velocità, la contrazione di Lorenz-FitzGerald e l’entità del cambiamento della massa in funzione della velocità. Ma di questo parleremo nel prossimo articolo dedicato alla relatività di Einstein.
*in realtà utilizzando la tangente dell’angolo gamma è sufficiente la sola trigonometria, si è usato il coseno per fornire l’esempio numerico
** la curvatura della terra è trascurabile a questi fini
David G. Wells – The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics
Abate M. Tovena F. – Geometria differenziale
Bononcini V. F. – Istituzioni di matematiche
